2017 年考研数学（三） 第 17 题

$n$ 项和、通项含 $k/n$ 且整体带 $1/n$ 因子 → 定积分定义 $\lim \frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})={\int }_0^{1}f$。本题 $f=x\ln (1+x)$，分部后遇 $\frac{x^2}{1+x}$ 先做多项式除法。坑：先凑出统一的 $\frac{1}{n}$ 再认 $f$。

本题考查用定积分的定义求 $n$ 项和的极限，再用分部积分算出定积分。

提出 $\frac{1}{n}$：$\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n})=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\ln (1+\frac{k}{n})$，这是 $f(x)=x\ln (1+x)$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，故极限 $={\int }_0^{1}x\ln (1+x)\mathrm{d}x$。

分部积分：${\int }_0^{1}x\ln (1+x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x){|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{x^2}{1+x}\mathrm{d}x$。对 $\frac{x^2}{1+x}$ 作多项式除法 $=x-1+\frac{1}{1+x}$：$=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1+\ln 2)=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。