2017 年考研数学（三） 第 18 题

方程 $f(x)=k$ 在开区间有根求 $k$ 范围 → 证 $f$ 单调，求两端的值（可能是极限），$k$ 落在开区间内。坑：$x\to 0^{+}$ 是极限不是函数值，端点开，故用严格不等号。

本题考查用单调性 + 端点极限确定函数的值域，从而定参数（方程有根 $⟺k$ 落在 $f$ 的值域内）。

令 $f(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2}{x^2(1+x){\ln }^2(1+x)}$。记分子 $g(x)=(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2$，有 $g(0)=0,g^{\prime }(0)=0,g^{\prime \prime }(x)=\frac{2[\ln (1+x)-x]}{1+x}<0(0<x<1)$，逐层推得 $g^{\prime }(x)<0,g(x)<0$，故 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 在 $(0,1)$ 严格递减。

端点取值（极限）：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x\ln (1+x)}=\frac{1}{2}$，$f(1)=\frac{1}{\ln 2}-1$。故 $f$ 在 $(0,1)$ 上的值域为开区间 $\left(\frac{1}{\ln 2}-1,\frac{1}{2}\right)$。方程有实根即 $k$ 属于该值域，故 $\frac{1}{\ln 2}-1<k<\frac{1}{2}$。