2017 年考研数学（三） 第 19 题

递推系数的幂级数求和函数 → （Ⅰ）用递推估 $|a_n|$ 的阶，根值/比值法定 $R$；（Ⅱ）逐项求导，把递推关系「翻译」成 $S$ 的微分方程再解 ODE。坑：并项时注意求和下标对齐，缺项 $a_1=0$ 不影响结论。

本题考查递推数列估阶定收敛半径、由递推关系导出和函数满足的微分方程再求解。

（Ⅰ） 由递推 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n+a_{n-1}$ 变形为 $a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{n+1}(a_n-a_{n-1})$，逐次递推得 $a_n-a_{n-1}=\frac{(-1{)}^n}{n!}$，从而 $a_n=\sum _{k=2}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$，故 $|a_n|\le \sum _{k=2}^n\frac{1}{k!}<n$。于是 $\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$，收敛半径 $R=\frac{1}{\rho }\ge 1$。

（Ⅱ） $S^{\prime }(x)=\sum _{n\ge 1}n{a}_n{x}^{n-1}$。计算 $(1-x)S^{\prime }(x)=\sum _{n\ge 1}n{a}_n{x}^{n-1}-\sum _{n\ge 1}n{a}_n{x}^n=\sum _{n\ge 0}(n+1)a_{n+1}{x}^n-\sum _{n\ge 1}n{a}_n{x}^n$。代入 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n+a_{n-1}$ 并整理，得 $(1-x)S^{\prime }(x)=\sum _{n\ge 1}{a}_{n-1}{x}^n=x\sum _{n\ge 0}{a}_n{x}^n=xS(x)$，即 $(1-x)S^{\prime }(x)-xS(x)=0$。

解此一阶线性方程：$\frac{S^{\prime }}{S}=\frac{x}{1-x}=-1+\frac{1}{1-x}$，积分得 $\ln |S|=-x-\ln |1-x|+C_0$，即 $S(x)=\frac{C{\mathrm{e}}^{-x}}{1-x}$。由 $S(0)=a_0=1$ 得 $C=1$，故 $S(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{1-x}$。