2017 年考研数学（三） 第 20 题

抽象矩阵定秩 → 特征值信息给下界（互异 $\Rightarrow$ 可对角化，非零值个数 $=$ 秩），列向量线性关系给上界。解 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$：把系数关系写成 $\mathbf{A}\cdot (\text{系数}{)}^{\mathrm{T}}$，直接读出齐次解与特解。坑：$3$ 个互异特征值最多一个为 $0$，故秩恰为 $2$。

本题考查用「特征值互异 $\Rightarrow$ 可对角化」定秩、用列向量线性关系定秩上界，以及非齐次方程组通解结构。

（Ⅰ） $\mathbf{A}$ 有 $3$ 个不同特征值，故可对角化，$r(\mathbf{A})$ 等于非零特征值的个数。$3$ 个互异特征值中至多一个为 $0$（否则重复），故非零特征值至少 $2$ 个，$r(\mathbf{A})\ge 2$。又 ${\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2$ 说明列向量线性相关，$r(\mathbf{A})<3$。综合得 $r(\mathbf{A})=2$。

（Ⅱ） 由 ${\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3=0$，即 $\mathbf{A}(1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}=0$，知 $\mathbf{\xi }=(1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的非零解；因 $r(\mathbf{A})=2$，基础解系仅含此一个向量。又 $\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3=\mathbf{A}(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，故特解 $\mathbf{\eta }=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

通解 $\mathbf{x}=k(1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}+(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 为任意常数）。