2017 年考研数学（三） 第 21 题

正交变换化二次型、标准形项数 $<3$ → 缺的平方项对应特征值 $0$，用 $|\mathbf{A}|=0$ 定参数。再正交对角化：特征值互异则特征向量正交，只需单位化。坑：非对角元是交叉项系数的一半（$2x_1{x}_2\Rightarrow a_{12}=1$，$-8x_1{x}_3\Rightarrow a_{13}=-4$）。

本题考查实对称矩阵的正交对角化：标准形只有两个平方项 $\Rightarrow$ 有一个特征值为 $0\Rightarrow |\mathbf{A}|=0$，由此定 $a$。

二次型矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -4\\ 1& -1& 1\\ -4& 1& a\end{array}\right)$（对角为平方项系数，非对角为交叉项系数的一半）。标准形缺 $y_3^2$ 说明 ${\lambda }_3=0$，故 $|\mathbf{A}|=0$。展开 $|\mathbf{A}|=-3(a-2)=0$，得 $a=2$。

代入求特征值：$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\lambda (\lambda +3)(\lambda -6)=0$，即 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$。对应特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_3=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$（互异特征值，自动两两正交）。

单位化 ${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，取 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)$，则 $f=-3y_1^2+6y_2^2$。