2017 年考研数学（三） 第 22 题

$Z=X+Y$、$X$ 离散 $Y$ 连续 → 全概率按 $X$ 的取值，把 $Z$ 的分布函数拆成 $Y$ 分布函数的平移叠加，分段后求导得密度。坑：$X=2$ 使那支密度平移到 $(2,3)$，中间 $(1,2)$ 段密度为 $0$。

本题考查连续型期望，以及「离散 $+$ 连续」混合型 $Z=X+Y$ 的分布（用全概率 / 分布函数法）。

（Ⅰ） $E(Y)={\int }_0^{1}y\cdot 2y\mathrm{d}y=\frac{2}{3}$。$P\{Y\le E(Y)\}=P\{Y\le \frac{2}{3}\}={\int }_0^{2/3}2y\mathrm{d}y=(\frac{2}{3}{)}^2=\frac{4}{9}$。

（Ⅱ） 用全概率公式按 $X$ 取值展开分布函数：$F_Z(z)=P\{Z\le z\}=\frac{1}{2}P\{Y\le z\}+\frac{1}{2}P\{Y\le z-2\}$。$Y$ 的分布函数在 $[0,1]$ 上为 $y^2$，在 $\ge 1$ 时为 $1$。分段：$z<0$ 时 $F_Z=0$；$0\le z<1$ 时 $F_Z=\frac{1}{2}{z}^2$；$1\le z<2$ 时 $F_Z=\frac{1}{2}$；$2\le z<3$ 时 $F_Z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(z-2{)}^2$；$z\ge 3$ 时 $F_Z=1$。

对 $z$ 求导得密度 $f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}z,& 0<z<1,\\ z-2,& 2<z<3,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$