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2017 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做

n

次测量，该物体的质量

μ

是已知的。设

n

次测量结果

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

。该工程师记录的是

n

次测量的绝对误差

Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣ (i = 1, 2, \dots, n)

，利用

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

估计

σ

。

（Ⅰ）求

Z_{1}

的概率密度；

（Ⅱ）利用一阶矩求

σ

的矩估计量；

（Ⅲ）求

σ

的最大似然估计量。

提示 1

（Ⅰ）

Z = ∣ X - μ ∣

，

\frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

，用分布函数

2Φ (\frac{z}{σ}) - 1

再求导（半正态分布）。

提示 2

（Ⅱ）算

E (Z) = σ 2/ π

，令其等于

\overline{Z}

反解

σ

。

提示 3

（Ⅲ）写似然、取对数，对

σ

求导置零。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f_{Z} (z) = {\frac{2}{2 π σ} e^{- z^{2} / (2 σ^{2})}, 0, z > 0, z \leq 0;$ （Ⅱ） $\overset{σ}{^} = \frac{π}{2} \overline{Z}$ ；（Ⅲ） $\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}^{2}$

思路（为什么这么做）

用

∣ X - μ ∣

估

σ

→ （Ⅰ）半正态密度

= 2 \times

正态密度（

z > 0

）；（Ⅱ）矩估计令

E (Z) = \overline{Z}

，注意

E ∣ N (0, σ^{2}) ∣ = σ 2/ π

；（Ⅲ）MLE 对

ln L

关于

σ

求导。坑：矩估计与 MLE 结果不同（

π /2 \overline{Z}

对

均值 (Z^{2})

）。

解答

本题考查随机变量函数（绝对值）的密度、矩估计与最大似然估计。

（Ⅰ）

\frac{X _{1} - μ}{σ} \sim N (0, 1)

。

Z_{1} = ∣ X_{1} - μ ∣ \geq 0

，当

z > 0

时

F (z) = P {∣ X_{1} - μ ∣ \leq z} = P {- \frac{z}{σ} \leq \frac{X _{1} - μ}{σ} \leq \frac{z}{σ}} = 2Φ (\frac{z}{σ}) - 1

，求导得

f_{Z} (z) = \frac{2}{σ} φ (\frac{z}{σ}) = \frac{2}{2 π σ} e^{- z^{2} / (2 σ^{2})} (z > 0)

，

z \leq 0

时为

0

（半正态分布）。

（Ⅱ）

E (Z) = \int_{0}^{+ \infty} z \cdot \frac{2}{2 π σ} e^{- z^{2} / (2 σ^{2})} d z = \frac{2 σ}{2 π} = σ \frac{2}{π}

。令

E (Z) = \overline{Z} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}

，解得矩估计量

\overset{σ}{^} = \frac{π}{2} \overline{Z}

。

（Ⅲ） 似然函数

L = i = 1 \prod n \frac{2}{2 π σ} e^{- z_{i}^{2} / (2 σ^{2})}

，

ln L = n ln 2 - n ln σ - \frac{n}{2} ln (2 π) - \frac{1}{2 σ ^{2}} i = 1 \sum n z_{i}^{2}

。令

\frac{d ln L}{d σ} = - \frac{n}{σ} + \frac{1}{σ ^{3}} i = 1 \sum n z_{i}^{2} = 0

，解得最大似然估计量

\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}^{2}

。

考点：最大似然估计、矩估计、随机变量函数的分布

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