2017 年考研数学（三） 第 5 题

见 $\mathbf{E}\pm c\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 判可逆 → $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 特征值只有 $0$ 和 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$；$\mathbf{E}+c\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 特征值 $1$ 与 $1+c$，$1+c=0$ 时奇异。坑：单位向量 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$，故 $\mathbf{E}-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 恰奇异。

本题考查秩 1 矩阵 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的特征值与「可逆 $⟺$ 无零特征值」。

矩阵 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 秩为 $1$，其特征值为 $0$（$n-1$ 重）与 $\mathrm{tr}(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$（因 $\mathbf{\alpha }$ 为单位向量）。

对 $\mathbf{E}+c\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$，特征值为 $1$（$n-1$ 个）与 $1+c$。取 $c=-1$：$\mathbf{E}-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 有特征值 $0$，故 $|\mathbf{E}-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}|=0$，不可逆；而 $c=1,2,-2$ 时 $1+c=2,3,-1\ne 0$，均可逆。故选 A。