2017 年考研数学（三） 第 4 题

级数含参数求收敛 → 通项泰勒展开找最低阶项；$\frac{1}{n}$ 项系数必须为 0（否则比调和级数发散），由此定参数。坑：$\ln (1-\frac{1}{n})$ 首项是 $-\frac{1}{n}$，符号别弄反。

本题考查用泰勒（麦克劳林）展开定级数通项的主阶，再由收敛性定参数。

$\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)$；$\ln \left(1-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$。

于是通项 $\sin \frac{1}{n}-k\ln \left(1-\frac{1}{n}\right)=(1+k)\frac{1}{n}+\frac{k}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$。由于 $\sum \frac{1}{n}$ 发散而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，要级数收敛必须让 $\frac{1}{n}$ 的系数为零：$1+k=0$，即 $k=-1$。故选 C。