2017 年考研数学（三） 第 3 题

见到 $f\cdot f^{\prime }$（乘积恒正/负）→ 凑成 $(\frac{1}{2}{f}^2{)}^{\prime }$，转化为 $f^2$ 的单调性，结论必落在 $|f|$ 而非 $f$。坑：$f$ 本身符号不定，不能直接比 $f(1)$ 与 $f(-1)$。

本题考查用导数符号判断单调性——关键是识别 $f\cdot f^{\prime }=[\frac{1}{2}{f}^2{]}^{\prime }$。

由 $[\frac{1}{2}{f}^2(x){]}^{\prime }=f(x)f^{\prime }(x)>0$ 知 $f^2(x)$ 单调递增，故 $f^2(1)>f^2(-1)$，即 $|f(1)|>|f(-1)|$。故选 C。

注意不能比较 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 本身：由 $f{f}^{\prime }>0$ 知 $f$ 与 $f^{\prime }$ 同号，$f>0$ 时递增、$f<0$ 时递减，$f$ 的正负不定，故 A、B 不一定成立。