2017 年考研数学（三） 第 2 题

求二元极值点 → 先解驻点方程组（别漏坐标轴上的点），再逐点算 $AC-B^2$。坑：$AC-B^2<0$ 是鞍点不是极值点，本题只有 $(1,1)$ 通过判别。

本题考查二元函数无条件极值：先解驻点方程组，再用判别式 $AC-B^2$ 判定。

展开 $z=3xy-x^{2}y-x{y}^2$。令 $z_x=3y-2xy-y^2=0$，$z_y=3x-x^2-2xy=0$，解得驻点 $(0,0),(3,0),(0,3),(1,1)$。

二阶偏导 $A=z_{xx}=-2y,B=z_{xy}=3-2x-2y,C=z_{yy}=-2x$。在 $(1,1)$：$A=-2,B=-1,C=-2$，$AC-B^2=4-1=3>0$ 且 $A<0$，为极大值点；其余三点 $AC-B^2=-9<0$，均为鞍点，非极值点。故选 D。