2017 年考研数学（三） 第 1 题

分段函数在分界点连续 → 令左极限=函数值=右极限；含 $1-\cos \sqrt{x}$ 用 $1-\cos u\sim u^2/2$。坑：$\sqrt{x}$ 要整体代入，$(\sqrt{x}{)}^2=x$，别丢常数 $\frac{1}{2}$。

本题考查分段函数在分界点的连续性：要求左极限 $=$ 函数值 $=$ 右极限，即 $f(0^{-})=f(0)=f(0^{+})$。

左侧（$x\le 0$）恒为常数：$f(0)=f(0^{-})=b$。右侧用等价无穷小 $1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}$，这里 $u=\sqrt{x}$，$(\sqrt{x}{)}^2=x$：$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x/2}{ax}=\frac{1}{2a}$。

连续要求 $b=\frac{1}{2a}$，即 $ab=\frac{1}{2}$。故选 A。