2011 年考研数学（三） 第 6 题

给「非齐次的若干线性无关解」求通解 → 差 ${\eta }_i-{\eta }_1$ 定齐次参数个数，特解看「系数和是否为 1」。坑：$\frac{{\eta }_2-{\eta }_3}{2}$ 系数和为 0 是齐次解，不能当特解。

本题考查非齐次线性方程组解的结构（特解＋齐次通解）。 两条性质：非齐次两解之差是齐次解；$\sum k_i{\eta }_i$ 为 $Ax=\beta$ 的解 $\iff \sum k_i=1$。

由 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 线性无关，${\eta }_2-{\eta }_1,{\eta }_3-{\eta }_1$ 是 $Ax=0$ 的两个线性无关解，基础解系至少含 2 个向量，通解需 2 个任意常数 → 排除只含 1 个参数的 (A)(B)。

特解须满足系数和为 1：$\frac{{\eta }_2+{\eta }_3}{2}$ 系数和 $=1$，是 $Ax=\beta$ 的解；而 $\frac{{\eta }_2-{\eta }_3}{2}$ 系数和 $=0$ 只是齐次解 → 排除 (D)。选 C。