2011 年考研数学（三）第 7 题

选择题 · 4 分

设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

为两个分布函数，其相应的概率密度

f_{1} (x)

与

f_{2} (x)

是连续函数，则必为概率密度的是（　　）

提示 1

概率密度两条判据：处处非负、全直线积分为 1。

提示 2

试把选项凑成某函数的导数——

f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1} = (F_{1} F_{2})^{'}

。

提示 3

用

F_{i} (\pm \infty) = 0, 1

算

\int_{- \infty}^{+ \infty} (F_{1} F_{2})^{'} d x = 1

。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

判「某表达式是否为密度」→ 凑成

(F_{1} F_{2})^{'}

之类可积出的形式，再验非负与积分为 1。坑：

f_{1} F_{2}

单独积分一般不为 1，要

f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1}

合起来才行。

解答

本题考查概率密度的判定：非负且在 $(- \infty, + \infty)$ 上积分为 1。

(D) 恰是乘积的导数：

f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1} = [F_{1} (x) F_{2} (x)]^{'}

。由

F_{i} (- \infty) = 0, F_{i} (+ \infty) = 1

，

\int_{- \infty}^{+ \infty} [F_{1} F_{2}]^{'} d x = F_{1} F_{2}_{- \infty}^{+ \infty} = 1

。

又

f_{i} \geq 0, F_{i} \geq 0

，故 (D) 非负且积分为 1，是概率密度；其余各项积分一般不为 1。选 D。

2011 年考研数学（三） 第 7 题