2011 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 4 分

设总体

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的泊松分布，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量

T_{1} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

和

T_{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n - 1 X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

，有（　　）

提示 1

泊松分布

E (X) = D (X) = λ

；样本相互独立。

提示 2

T_{2}

里

X_{n}

系数

\frac{1}{n}

是「额外」多加的，期望比

λ

大。

提示 3

方差用独立性逐项相加；注意

\frac{1}{n - 1} > \frac{1}{n}

使

D (T_{2})

更大。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

比较统计量的

E, D

→ 用

E (X) = D (X) = λ

、独立性逐项算。坑：

T_{2}

前

n - 1

项系数是

\frac{1}{n - 1}

（非

\frac{1}{n}

），故期望、方差都比

T_{1}

大。

解答

本题考查统计量的期望与方差。 泊松分布

E (X) = D (X) = λ

，样本相互独立。

期望：

E (T_{1}) = \frac{1}{n} \cdot nλ = λ

；

E (T_{2}) = \frac{1}{n - 1} (n - 1) λ + \frac{1}{n} λ = λ + \frac{λ}{n} > λ

。故

E (T_{1}) < E (T_{2})

。

方差（独立逐项相加）：

D (T_{1}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot nλ = \frac{λ}{n}

；

D (T_{2}) = \frac{1}{( n - 1 ) ^{2}} (n - 1) λ + \frac{1}{n ^{2}} λ = \frac{λ}{n - 1} + \frac{λ}{n ^{2}} > \frac{λ}{n - 1} > \frac{λ}{n} = D (T_{1})

。故

D (T_{1}) < D (T_{2})

。选 D。

2011 年考研数学（三） 第 8 题