2011 年考研数学（三） 第 9 题

极限里含参数 $x$ 定义的函数 → 先按 $1^{\infty }$ 重要极限求出 $f(x)=x{\mathrm{e}}^{3x}$，再对 $x$ 求导。坑：极限中 $t\to 0$，$x$ 当常数；凑 $\mathrm{e}$ 后指数是 $3x$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型重要极限求出 $f(x)$，再求导。

求 $f(x)$：$\underset{t\to 0}{\lim }(1+3t{)}^{x/t}=\underset{t\to 0}{\lim }{\left[(1+3t{)}^{\frac{1}{3t}}\right]}^{3x}={\mathrm{e}}^{3x}$，故 $f(x)=x{\mathrm{e}}^{3x}$。

求导：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{3x}+x\cdot 3{\mathrm{e}}^{3x}=(1+3x){\mathrm{e}}^{3x}$。