2011 年考研数学（三） 第 10 题

幂指型全微分 → 取对数（或写成 ${\mathrm{e}}^{\cdots }$）再微分；先求出各处值再代点最省事。坑：$\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y}\mathrm{d}x-\frac{x}{y^2}\mathrm{d}y$，在 $(1,1)$ 恰为 $\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。

本题考查幂指型多元函数的全微分（对数微分法）。 记 $u=\frac{x}{y}$，$z=(1+u{)}^u$，在 $(1,1)$ 处 $u=1,z=2$。

两边取对数 $\ln z=\frac{x}{y}\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)$，求微分得 $\frac{\mathrm{d}z}{z}=\left[\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)+\frac{x/y}{1+x/y}\right]\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right)$，其中 $\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y}\mathrm{d}x-\frac{x}{y^2}\mathrm{d}y$。

代入 $x=y=1$：$\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right)=\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$，中括号 $=\ln 2+\frac{1}{2}$，故 $\frac{\mathrm{d}z}{2}=\left(\ln 2+\frac{1}{2}\right)(\mathrm{d}x-\mathrm{d}y)$，即 $\mathrm{d}z{|}_{(1,1)}=(1+2\ln 2)(\mathrm{d}x-\mathrm{d}y)$。