2011 年考研数学（三） 第 11 题

隐式曲线求切线 → 两边对 $x$ 求导解出 $y^{\prime }$，代切点得斜率。坑：$\tan$ 的导数是 ${\sec }^2$，且 ${\sec }^2\frac{\pi }{4}=2$；左边内层含 $y$ 故有因子 $1+y^{\prime }$。

本题考查隐函数求导求切线斜率。 先验证 $(0,0)$ 在曲线上：$\tan \frac{\pi }{4}=1={\mathrm{e}}^0$。

两边对 $x$ 求导：${\sec }^2\left(x+y+\frac{\pi }{4}\right)\left(1+y^{\prime }\right)={\mathrm{e}}^y{y}^{\prime }$。

代入 $(0,0)$：${\sec }^2\frac{\pi }{4}=2$，得 $2(1+y^{\prime })=y^{\prime }$，解出 $y^{\prime }=-2$。切线 $y=-2x$。