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2011 年考研数学（三）第 12 题

填空题 · 4 分

曲线

y = x^{2} - 1

、直线

x = 2

及

x

轴所围的平面图形绕

x

轴旋转所成的旋转体的体积为 ______．

提示 1

定下限：

y = x^{2} - 1

与

x

轴交于

x = 1

，积分区间

[1, 2]

。

提示 2

圆盘法

V = π \int_{1}^{2} y^{2} d x

，且

y^{2} = x^{2} - 1

。

提示 3

直接积分求值。

答案与详解

答案 $\frac{4 π}{3}$

思路（为什么这么做）

绕

x

轴旋转求体积 → 圆盘法

V = π \int y^{2} d x

，

y^{2}

恰去根号。坑：下限由

y = 0

定为

x = 1

，不是

x = 0

。

解答

本题考查旋转体体积（圆盘法）。 曲线

y = x^{2} - 1

从

x = 1

（此处

y = 0

）到

x = 2

，与

x

轴、

x = 2

围成图形。

绕

x

轴旋转：

V = π \int_{1}^{2} y^{2} d x = π \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = π [\frac{x ^{3}}{3} - x]_{1}^{2} = \frac{4 π}{3}

。

考点：定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、定积分的计算

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