2011 年考研数学（三） 第 13 题

求正交标准形 → 求 $A$ 的三个特征值。坑：「各行元素之和 $=k$」等价于 $A(1,\dots ,1{)}^{\mathrm{T}}=k(1,\dots ,1{)}^{\mathrm{T}}$，即 $k$ 是特征值；配合秩定出其余为 0。

本题考查实对称矩阵特征值与二次型正交标准形。 正交变换下标准形的系数即 $A$ 的特征值。

$A$ 实对称且 $r(A)=1$，故只有一个非零特征值，另两个为 0。

「各行元素之和为 3」即 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，说明 3 是特征值。于是特征值为 $3,0,0$，标准形为 $3y_1^2$。