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2011 年考研数学（三）第 14 题

填空题 · 4 分

设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (μ, μ; σ^{2}, σ^{2}; 0)

，则

E (X Y^{2}) =

______．

提示 1

二维正态且

ρ = 0

→

X, Y

独立（正态特有的等价）。

提示 2

独立时

E (X Y^{2}) = E (X) E (Y^{2})

。

提示 3

E (Y^{2}) = D (Y) + (E Y)^{2} = σ^{2} + μ^{2}

。

答案与详解

答案 $μ σ^{2} + μ^{3}$

思路（为什么这么做）

二维正态

ρ = 0

→ 独立，期望可拆开。坑：

E (Y^{2}) \neq = (E Y)^{2}

，要用

E (Y^{2}) = D (Y) + (E Y)^{2} = σ^{2} + μ^{2}

。

解答

本题考查二维正态分布的独立性与数字特征。 参数

ρ = 0

，对二维正态而言

ρ = 0 \Leftrightarrow X, Y

独立，且

X \sim N (μ, σ^{2}), Y \sim N (μ, σ^{2})

。

由独立：

E (X Y^{2}) = E (X) E (Y^{2})

。

E (X) = μ

，

E (Y^{2}) = D (Y) + [E (Y)]^{2} = σ^{2} + μ^{2}

。故

E (X Y^{2}) = μ (σ^{2} + μ^{2}) = μ σ^{2} + μ^{3}

。

考点：数学期望、随机变量的独立性、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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