2011 年考研数学（三） 第 15 题

「根号差／$x\ln (1+x)$」→ 分母等价换 $x^2$、分子有理化，再对 $\frac{\sin x-x}{x^2}$ 用高阶等价无穷小。坑：$\sin x-x$ 是三阶无穷小，除以 $x^2$ 趋 0，剩下的 $-1$ 给出 $-\frac{1}{2}$。

本题考查极限计算（等价无穷小＋有理化）。 分母 $x\ln (1+x)\sim x\cdot x=x^2$，先把分母换成 $x^2$。

分子有理化：$\sqrt{1+2\sin x}-(x+1)=\frac{(1+2\sin x)-(x+1{)}^2}{\sqrt{1+2\sin x}+(x+1)}=\frac{2\sin x-x^2-2x}{\sqrt{1+2\sin x}+(x+1)}$，分母那一支 $\to 2$。

于是原式 $=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x-x^2-2x}{x^2}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{2(\sin x-x)}{x^2}-1\right]$。因 $\sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$，$\frac{2(\sin x-x)}{x^2}\to 0$，故 $=\frac{1}{2}(0-1)=-\frac{1}{2}$。