2011 年考研数学（三） 第 16 题

复合函数二阶偏导＋「是极值」→ 先记下极值点一阶偏导为 0，最后代点把带内层 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 的项全消。坑：区分外层求值点 $(2,2)$ 与内层 $f$ 的求值点 $(1,1)$；勿混 $f_{11}^{\prime \prime }$ 与 $f_{12}^{\prime \prime }$。

本题考查多元复合函数二阶偏导，并利用「极值点一阶偏导为零」。 因 $f(1,1)$ 是 $f(u,v)$ 的极值，故 $f_1^{\prime }(1,1)=f_2^{\prime }(1,1)=0$。注意在 $(x,y)=(1,1)$ 处，第一自变量 $x+y=2$、$f(x,y)=f(1,1)=2$，即外层在 $(2,2)$ 取值。

一阶：$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }(x+y,f)+f_2^{\prime }(x+y,f)\cdot f_1^{\prime }(x,y)$。

再对 $y$ 求导（外层两自变量对 $y$ 的偏导分别为 $1$ 与 $f_2^{\prime }(x,y)$）：$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{11}^{\prime \prime }+f_{12}^{\prime \prime }{f}_2^{\prime }(x,y)+[f_{21}^{\prime \prime }+f_{22}^{\prime \prime }{f}_2^{\prime }(x,y)]f_1^{\prime }(x,y)+f_2^{\prime }(x+y,f)f_{12}^{\prime \prime }(x,y)$。

在 $(1,1)$ 处 $f_1^{\prime }(1,1)=f_2^{\prime }(1,1)=0$，凡含 $f_1^{\prime }(x,y)$ 或 $f_2^{\prime }(x,y)$ 的项全为 0，只剩 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}=f_{11}^{\prime \prime }(2,2)+f_2^{\prime }(2,2)f_{12}^{\prime \prime }(1,1)$。