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2011 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 10 分

求不定积分

\int \frac{arcsin x + ln x}{x} d x

．

提示 1

看到

\frac{1}{x} d x

→ 凑

= 2 d (x)

，把

arcsin x + ln x

当整体做分部积分。

提示 2

分部后算

(arcsin x)^{'} = \frac{1}{2 x 1 - x}

，

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

。

提示 3

余下两积分分别得

2 1 - x

与

- 4 x

。

答案与详解

答案 $2 x (arcsin x + ln x) + 2 1 - x - 4 x + C$

思路（为什么这么做）

被积含

\frac{1}{x}

与

arcsin x, ln x

→ 凑

d (x)

后分部积分。坑：

arcsin x

求导链式

\frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1}{2 x}

，与前面的

x

相乘正好约掉

x

。

解答

本题考查凑微分＋分部积分。 注意

\frac{d x}{x} = 2 d (x)

，把积分凑成对

x

的分部积分。

\int \frac{arcsin x + ln x}{x} d x = 2 \int (arcsin x + ln x) d (x) = 2 x (arcsin x + ln x) - 2 \int x (\frac{1}{2 x 1 - x} + \frac{1}{x}) d x

。

余下两个积分：

- 2 \int x \cdot \frac{1}{2 x 1 - x} d x = - \int \frac{d x}{1 - x} = 2 1 - x

；

- 2 \int x \cdot \frac{1}{x} d x = - 2 \int \frac{d x}{x} = - 4 x

。

合并得

\int \frac{arcsin x + ln x}{x} d x = 2 x (arcsin x + ln x) + 2 1 - x - 4 x + C

。

考点：换元积分法与分部积分法、不定积分的概念与性质

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