2011 年考研数学（三） 第 18 题

「证方程恰有 $k$ 个根」→ 令 $f=$左边，用 $f^{\prime }$ 分单调区间，逐段「端点值符号＋单调 ⇒ 至多一根」＋零点定理数根。坑：本题极小值 $f(-\sqrt{3})=0$ 本身即一个根（相切于轴），别漏；须说明 $f(\sqrt{3})=2(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3})>0$。

本题考查用单调性（导数）＋零点定理讨论根的个数。 设 $f(x)=4\arctan x-x+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$。

$f^{\prime }(x)=\frac{4}{1+x^2}-1=\frac{3-x^2}{1+x^2}$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得驻点 $x=\pm \sqrt{3}$。故 $f$ 在 $(-\infty ,-\sqrt{3}]$ 递减、$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 递增、$[\sqrt{3},+\infty )$ 递减，$x=-\sqrt{3}$ 为极小、$x=\sqrt{3}$ 为极大。

关键值：$f(-\sqrt{3})=4\left(-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}=0$；$f(\sqrt{3})=2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\right)>0$；$\underset{x\to -\infty }{\lim }f=+\infty$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f=-\infty$。

在 $(-\infty ,-\sqrt{3}]$ 上 $f$ 从 $+\infty$ 单减到极小值 $0$，仅在端点 $x=-\sqrt{3}$ 处为零（第一个根）；在 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 上 $f$ 从 $0$ 增到正值，无新零点；在 $[\sqrt{3},+\infty )$ 上 $f$ 从正值单减到 $-\infty$，由零点定理恰有一个零点（第二个根）。故方程恰有两个实根。