2011 年考研数学（三） 第 19 题

积分方程求 $f$ → 先把二重积分化成 $t$ 的显式函数，再对参数 $t$ 求导变成微分方程。坑：右端 $f(t)$ 相对积分变量是常数，别当被积函数；求导后 $t{f}^{\prime }(t)$ 与 $f(t)$ 项要仔细合并得 $(2-t)f^{\prime }=2f$。

本题考查二重积分化累次、变限积分求导与一阶线性微分方程。 $D_t$ 是直角三角形，先把两边二重积分算成 $t$ 的函数。

左边化累次：${\iint }_{D_t}{f}^{\prime }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_0^{t-x}{f}^{\prime }(x+y)\mathrm{d}y={\int }_0^t[f(t)-f(x)]\mathrm{d}x=tf(t)-{\int }_0^{t}f(x)\mathrm{d}x$。

右边 $f(t)$ 相对 $(x,y)$ 是常数：${\iint }_{D_t}f(t)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=f(t)\cdot \frac{1}{2}{t}^2$。于是 $tf(t)-{\int }_0^{t}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{t}^{2}f(t)$。

两边对 $t$ 求导：$f(t)+t{f}^{\prime }(t)-f(t)=tf(t)+\frac{1}{2}{t}^2{f}^{\prime }(t)$，化简得 $(2-t)f^{\prime }(t)=2f(t)$。分离变量解得 $f(t)=\frac{C}{(2-t{)}^2}$，由 $f(0)=1$ 得 $C=4$，故 $f(x)=\frac{4}{(2-x{)}^2}$。