2011 年考研数学（三） 第 20 题

「$\alpha$ 组不能由 $\beta$ 组表示」定参数 → 常转化为秩/行列式条件（$\beta$ 组不满秩）。求线性表示 → 增广矩阵 $(\alpha \mid \beta )$ 行化简为 $(E\mid C)$。坑：本题由「$\beta$ 表示 $\alpha$ 不成立」推出 $\beta$ 相关得 $a=5$，反过来仍能用 $\alpha$ 表示 $\beta$。

本题考查向量组的线性表示与秩。 先看 $\alpha$ 组：$|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 1& 1& 5\end{array}\right|=1\ne 0$，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，$r(\alpha )=3$。

（I）$\alpha$ 组不能由 $\beta$ 组表示，而 $\alpha$ 组无关（秩 3）；若 $\beta$ 组也线性无关则它是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基、可表示任何向量，矛盾。故 $\beta$ 组必线性相关，$|{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& a\end{array}\right|=a-5=0$，得 $a=5$。

（II）对 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3\mid {\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$ 作初等行变换化成 $(E\mid C)$：$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 1& 1& 3\\ 0& 1& 3& 1& 2& 4\\ 1& 1& 5& 1& 3& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& 1& 5\\ 0& 1& 0& 4& 2& 10\\ 0& 0& 1& -1& 0& -2\end{array}\right)$。

故 ${\mathbf{\beta }}_1=2{\mathbf{\alpha }}_1+4{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3$，${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2$，${\mathbf{\beta }}_3=5{\mathbf{\alpha }}_1+10{\mathbf{\alpha }}_2-2{\mathbf{\alpha }}_3$。