2011 年考研数学（三） 第 21 题

给 $\mathbf{A}\cdot [\text{列}]=[\text{列}]$ → 逐列识别特征对；实对称＋秩缺 → 0 是特征值，且各特征向量正交可定出缺的那个。坑：$(1,0,-1)$ 与 $(1,0,1)$ 已正交（符合实对称），第三个与二者都正交得 $(0,1,0)$；最后用 $\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$ 求出数值矩阵。

本题考查实对称矩阵的特征值特征向量及由谱重构矩阵。 由矩阵等式的两列读出特征关系。

第 1 列：$\mathbf{A}(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}=-(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$，得特征值 $-1$、特征向量 $(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$；第 2 列：$\mathbf{A}(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，得特征值 $1$、特征向量 $(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

又 $r(\mathbf{A})=2<3\Rightarrow |\mathbf{A}|=0$，故 $0$ 是第三个特征值。设 $\lambda =0$ 的特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$；实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，${\mathbf{\xi }}_1$ 与 $(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}},(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$ 都正交，得 $x_1-x_3=0,x_1+x_3=0\Rightarrow x_1=x_3=0$，故 ${\mathbf{\xi }}_1=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$。

（II）取 $\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$（列依次对应 $\lambda =0,-1,1$），则 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathrm{diag}(0,-1,1){\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$。