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2011 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 11 分

设随机变量

X

与

Y

的概率分布分别为

X \sim (0 \frac{1}{3} 1 \frac{2}{3})

，

Y \sim (- 1 \frac{1}{3} 0 \frac{1}{3} 1 \frac{1}{3})

，且

P {X^{2} = Y^{2}} = 1

．（I）求二维随机变量

(X, Y)

的概率分布；（II）求

Z = X Y

的概率分布；（III）求

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y}

．

提示 1

P {X^{2} = Y^{2}} = 1

意味着

X^{2} \neq = Y^{2}

的格子概率为 0，先把这些联合概率钉成 0。

提示 2

剩下的格子用边缘分布（行和、列和）逐一补齐。

提示 3

相关系数只需

E (X), E (Y), E (X Y)

；

E (X Y) = E (Z)

直接用 (II) 的分布算。

答案与详解

答案（I） $P {X = 0, Y = 0} = \frac{1}{3}, P {X = 1, Y = - 1} = \frac{1}{3}, P {X = 1, Y = 1} = \frac{1}{3}$ ，其余为 0；（II） $P {Z = - 1} = P {Z = 0} = P {Z = 1} = \frac{1}{3}$ ；（III） $ρ_{X Y} = 0$

思路（为什么这么做）

已知两个边缘＋一个概率约束求联合分布 → 先用约束把不可能格子填 0，再用行/列和补满。坑：

ρ = 0

只说明不相关，本题

X, Y

并不独立（如

P (0, - 1) = 0 \neq = P (X = 0) P (Y = - 1)

）。

解答

本题考查由边缘分布＋约束确定联合分布、随机变量函数的分布与相关系数。 关键用

P {X^{2} = Y^{2}} = 1

，即

P {X^{2} \neq = Y^{2}} = 0

。

（I）

X^{2} \in {0, 1}, Y^{2} \in {0, 1}

。要几乎必然

X^{2} = Y^{2}

：

X = 0

必有

Y = 0

，

X = 1

必有

Y = \pm 1

，故

P {X = 0, Y = - 1} = P {X = 0, Y = 1} = P {X = 1, Y = 0} = 0

。再由边缘补齐：

P {X = 0, Y = 0} = P {X = 0} = \frac{1}{3}

，

P {X = 1, Y = - 1} = P {Y = - 1} = \frac{1}{3}

，

P {X = 1, Y = 1} = P {Y = 1} = \frac{1}{3}

。

（II）

Z = X Y

取值

- 1, 0, 1

：

P {Z = - 1} = P {X = 1, Y = - 1} = \frac{1}{3}

，

P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = \frac{1}{3}

，

P {Z = 0} = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

。

（III）

E (X) = \frac{2}{3}, E (Y) = 0, E (X Y) = E (Z) = (- 1) \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0

。

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0

，故

ρ_{X Y} = 0

。

考点：二维随机变量与联合分布、二维随机变量函数的分布、协方差与相关系数

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