2011 年考研数学（三） 第 23 题

二维均匀分布求边缘/条件密度 → 密度取常数 $\frac{1}{\text{面积}}$，边缘密度＝按另一变量积分（注意分段的积分限），条件密度＝联合／边缘。坑：$f_X$ 因区域是三角形要在 $x=1$ 处分段；条件密度说明给定 $Y=y$ 时 $X$ 均匀在 $(y,2-y)$。

本题考查二维均匀分布的边缘密度与条件密度。 $G$ 的顶点为 $(0,0),(2,0),(1,1)$，面积 $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$，故联合密度 $f(x,y)=1,(x,y)\in G$，否则为 0。

（I）$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$。当 $0<x<1$，$y$ 从 0 到直线 $y=x$：$f_X(x)={\int }_0^x\mathrm{d}y=x$；当 $1\le x<2$，$y$ 从 0 到直线 $y=2-x$：$f_X(x)={\int }_0^{2-x}\mathrm{d}y=2-x$；其他为 0。

（II）先求 $f_Y(y)$：当 $0<y<1$，$x$ 从 $x=y$ 到 $x=2-y$，$f_Y(y)={\int }_y^{2-y}\mathrm{d}x=2(1-y)$，其他为 0。于是当 $0<y<1$ 时 $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{1}{2(1-y)}(y<x<2-y)$，否则为 0——即给定 $Y=y$ 时 $X$ 在 $(y,2-y)$ 上均匀分布。