2011 年考研数学（三） 第 5 题

「先列后行的初等变换得 $E$」→ 列变换写右乘、行变换写左乘，联立解 $A$。坑：交换两行/列的初等矩阵是自身的逆（$P_2^{-1}=P_2$），倍加阵 $P_1^{-1}$ 只需把 $1$ 变 $-1$。

本题考查初等变换与初等矩阵：列变换＝右乘、行变换＝左乘。

「第 2 列加到第 1 列」＝右乘 $P_1$：$B=A{P}_1$；「交换第 2、3 行」＝左乘 $P_2$：$P_{2}B=E$。

于是 $P_{2}A{P}_1=E$，$A=P_2^{-1}{P}_1^{-1}$。又 $P_2$ 是对换初等矩阵，$P_2^{-1}=P_2$，故 $A=P_2{P}_1^{-1}$。选 D。