2009 年考研数学（三） 第 5 题

看到「分块矩阵求伴随」→ 走 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$：先求 $|M|$，再写出分块逆，最后用 $X^{\ast }=|X|X^{-1}$ 换元。坑：反对角分块的行列式带 $(-1{)}^{mn}$ 因子，逆也是反对角且 $A,B$ 位置互换。

本题考查伴随矩阵与逆矩阵的关系 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$，以及分块矩阵求逆。 记 $M=\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$。

$|M|=(-1{)}^{2\times 2}|A||B|=2\cdot 3=6$，且 $M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$（可直接验证 $M{M}^{-1}=E$）。

故 $M^{\ast }=|M|M^{-1}=6\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}O& 6B^{-1}\\ 6A^{-1}& O\end{array}\right)$。

再用 $B^{\ast }=|B|B^{-1}=3B^{-1}\Rightarrow 6B^{-1}=2B^{\ast }$，$A^{\ast }=|A|A^{-1}=2A^{-1}\Rightarrow 6A^{-1}=3A^{\ast }$。于是 $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}O& 2B^{\ast }\\ 3A^{\ast }& O\end{array}\right)$，选 B。