2009 年考研数学（三） 第 6 题

看到「已知 $P^{\mathrm{T}}AP=\Lambda$，$Q$ 由 $P$ 的列做线性组合，求 $Q^{\mathrm{T}}AQ$」→ 令 $Q=PC$，则答案 $=C^{\mathrm{T}}\Lambda C$。坑：$C$ 的列要按 $Q$ 各列由 ${\alpha }_i$ 的组合系数逐列写，别把行列写反。

本题考查合同变换 $Q^{\mathrm{T}}AQ$：把列变换写成右乘一个可逆矩阵。 由 $Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=P\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，记 $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，即 $Q=PC$。

于是 $Q^{\mathrm{T}}AQ=C^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

依次相乘得 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，选 A。