2008 年考研数学（三） 第 21 题

给出 $A{\alpha }_i$ 的关系求 $P^{-1}AP$ → 直接写 $AP=(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=PB$，$B$ 的第 $i$ 列就是 $A{\alpha }_i$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标。坑：${\alpha }_3$ 不是特征向量（$A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$），故 $B$ 非对角、含上三角的 1。

本题考查特征向量的线性无关性与相似变换 $P^{-1}AP$。 已知 $A{\alpha }_1=-{\alpha }_1$，$A{\alpha }_2={\alpha }_2$，$A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$。

（Ⅰ） 设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=0$（①）。两边左乘 $A$：$k_{1}A{\alpha }_1+k_{2}A{\alpha }_2+k_{3}A{\alpha }_3=0$，即 $-k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3({\alpha }_2+{\alpha }_3)=0$，整理为 $-k_1{\alpha }_1+(k_2+k_3){\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=0$（②）。

①$-$②：$2k_1{\alpha }_1-k_3{\alpha }_2=0$。因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 属不同特征值 $-1,1$，线性无关，故 $2k_1=0,k_3=0$，即 $k_1=k_3=0$。代回①得 $k_2{\alpha }_2=0$，而 ${\alpha }_2\ne 0$，故 $k_2=0$。所以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。

（Ⅱ） 由(Ⅰ)知 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 可逆。$$AP=(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=(-{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$ 故 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。