2008 年考研数学（三） 第 22 题

离散 $X$ + 连续 $Y$ 求 $Z=X+Y$ 分布 → 全概率按 $X$ 取值展开，$F_Z(z)={\sum }_{i}P\{X=i\}{F}_Y(z-i)$。坑：三段 $F_Z$ 恰好都等于 $\frac{1}{3}(z+1)$，说明 $Z$ 在 $[-1,2)$ 上均匀，密度是常数 $\frac{1}{3}$。

本题考查离散 + 连续型变量之和 $Z=X+Y$ 的条件概率与分布。 用全概率按 $X$ 的取值展开。

（Ⅰ） 当 $X=0$ 时 $Z=Y$，又 $X,Y$ 独立，故 $P\left\{Z\le \frac{1}{2}\mid X=0\right\}=P\left\{Y\le \frac{1}{2}\right\}={\int }_0^{1/2}1\mathrm{d}y=\frac{1}{2}$。

（Ⅱ） $F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}$。当 $z<-1$ 时 $F_Z=0$；当 $z\ge 2$ 时 $F_Z=1$。当 $-1\le z<2$，按 $X$ 全概率：$$F_Z(z)=\frac{1}{3}P\{Y\le z+1\}+\frac{1}{3}P\{Y\le z\}+\frac{1}{3}P\{Y\le z-1\}.$$

分段积分：$-1\le z<0$ 时 $F_Z=\frac{1}{3}{\int }_0^{z+1}\mathrm{d}y=\frac{1}{3}(z+1)$；$0\le z<1$ 时 $F_Z=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}z=\frac{1}{3}(z+1)$；$1\le z<2$ 时 $F_Z=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}(z-1)=\frac{1}{3}(z+1)$。三段统一为 $F_Z(z)=\frac{1}{3}(z+1)(-1\le z<2)$。

求导得 $f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1\le z<2,\\ 0,& \text{其他.}\end{array}$ （直观：$X=-1,0,1$ 分别把 $Y\sim U[0,1)$ 平移到 $[-1,0),[0,1),[1,2)$，故 $Z\sim U[-1,2)$。）