2008 年考研数学（三） 第 23 题

正态总体构造估计量 → $\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立、$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$、$D({\chi }^2(k))=2k$ 是三件套。坑：$E({\overline{X}}^2)$ 要加方差项 $\frac{{\sigma }^2}{n}$；求 $D(T)$ 时用独立性把方差拆开，并用 $D(cX)=c^{2}D(X)$ 还原 ${\chi }^2$。

本题考查正态总体抽样分布、无偏估计与 ${\chi }^2$ 分布方差。 用 $\overline{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$、$E(S^2)={\sigma }^2$。

（Ⅰ） 由 $\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ 得 $E({\overline{X}}^2)=D(\overline{X})+[E(\overline{X}){]}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2$。又 $S^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，$E(S^2)={\sigma }^2$。故 $$E(T)=E({\overline{X}}^2)-\frac{1}{n}E(S^2)=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2-\frac{{\sigma }^2}{n}={\mu }^2,$$ 即 $T={\overline{X}}^2-\frac{1}{n}{S}^2$ 是 ${\mu }^2$ 的无偏估计量。

（Ⅱ） 当 $\mu =0,\sigma =1$：$\overline{X}\sim N\left(0,\frac{1}{n}\right)$，标准化 $\sqrt{n}\overline{X}\sim N(0,1)$，故 $n{\overline{X}}^2\sim {\chi }^2(1)$，$D(n{\overline{X}}^2)=2$。又 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=(n-1)S^2\sim {\chi }^2(n-1)$，$D[(n-1)S^2]=2(n-1)$，且 $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

于是 $$D(T)=D({\overline{X}}^2)+\frac{1}{n^2}D(S^2)=\frac{1}{n^2}D(n{\overline{X}}^2)+\frac{1}{n^2(n-1{)}^2}D[(n-1)S^2]=\frac{2}{n^2}+\frac{2(n-1)}{n^2(n-1{)}^2}=\frac{2}{n^2}+\frac{2}{n^2(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)}.$$