2008 年考研数学（三） 第 20 题

三对角含参行列式 → 展开成二阶递推再归纳/迭代；含参方程组按 $|A|$ 是否为 0 分「唯一解(Cramer)」与「无穷解(行简化求通解)」。坑：$a=0$ 时矩阵结构大变，务必重新写出 $A$ 再消元，别套 $a\ne 0$ 的结论。

本题考查三对角行列式递推、克拉默法则与含参方程组解的判定。

（Ⅰ） 记 $D_n=|A|$（$n$ 阶）。按第一列展开得递推 $D_n=2a{D}_{n-1}-a^2{D}_{n-2}$，且 $D_1=2a$、$D_2=(2a{)}^2-a^2=3a^2$。用归纳法：设 $D_{k-1}=k{a}^{k-1}$、$D_k=(k+1)a^k$，则 $D_{k+1}=2a(k+1)a^k-a^2\cdot k{a}^{k-1}=(2k+2-k)a^{k+1}=(k+2)a^{k+1}$。故对一切 $n$，$|A|=(n+1)a^n$。

（Ⅱ） 当 $|A|=(n+1)a^n\ne 0$，即 $a\ne 0$ 时，方程组有唯一解。由克拉默法则，$x_1=\frac{D}{|A|}$，其中 $D$ 是把 $A$ 第一列换成 $b=(1,0,\cdots ,0{)}^{\mathrm{T}}$ 所得行列式；按第一列展开 $D$ 等于划去首行首列后的 $(n-1)$ 阶同型行列式 $D_{n-1}=n{a}^{n-1}$。故 $x_1=\frac{n{a}^{n-1}}{(n+1)a^n}=\frac{n}{(n+1)a}$。

（Ⅲ） 当 $a=0$ 时 $|A|=0$。此时 $A$ 的主对角元 $2a=0$、次对角元 $a^2=0$，只有上对角线全为 $1$。对增广矩阵行简化：$$\overline{A}\to \left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& & & & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right),$$ 得 $x_2=1,x_3=\cdots =x_n=0$，$x_1$ 为自由未知量。故 $r(A)=r(\overline{A})=n-1<n$，有无穷多解，通解为 $$x=C(1,0,0,\cdots ,0{)}^{\mathrm{T}}+(0,1,0,\cdots ,0{)}^{\mathrm{T}}(C\text{ 为任意常数}).$$