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2008 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 10 分

设银行存款的年利率为

r = 0.05

，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款

A

万元实现第一年提取

19

万元，第二年提取

28

万元，

\dots

，第

n

年提取

(10 + 9 n)

万元，并能按此规律一直提取下去，问

A

至少应为多少万元？

提示 1

第

n

年提

(10 + 9 n)

万元的现值是

(10 + 9 n) (1 + r)^{- n}

，

A

不少于它们的无穷和。

提示 2

拆成

10 \sum q^{n} + 9 \sum n q^{n}

（

q = \frac{1}{1 + r}

）：一个几何级数、一个

\sum n q^{n}

。

提示 3

用

\sum_{n \geq 1} q^{n} = \frac{q}{1 - q} = \frac{1}{r}

、

\sum_{n \geq 1} n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}} = \frac{1 + r}{r ^{2}}

，代

r = 0.05

。

答案与详解

答案 $A \geq \frac{10}{r} + \frac{9 ( 1 + r )}{r ^{2}} = 3980$ （万元）

思路（为什么这么做）

永续复利提取 → 存款

\geq

各期提取额现值之和；系数含

n

时拆成几何级数

\sum q^{n}

加

\sum n q^{n}

。坑：

\sum n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}}

（不是

\frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}

），先算和函数再代

q = \frac{1}{1 + r}

。

解答

本题考查级数求和的经济应用（复利现值 + 幂级数和函数）。 第

n

年提取

(10 + 9 n)

万元，其现值为

(10 + 9 n) (1 + r)^{- n}

，要能永远提取，需存款不小于所有提取额现值之和。

A \geq n = 1 \sum \infty (10 + 9 n) (1 + r)^{- n} = 10 n = 1 \sum \infty q^{n} + 9 n = 1 \sum \infty n q^{n}, q = \frac{1}{1 + r} \in (0, 1) .

几何级数：

n = 1 \sum \infty q^{n} = \frac{q}{1 - q} = \frac{1}{r}

，故第一项

= \frac{10}{r}

。又由和函数

n = 1 \sum \infty n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}} = \frac{1 + r}{r ^{2}}

（源自

\sum_{n \geq 1} n x^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

），故第二项

= \frac{9 ( 1 + r )}{r ^{2}}

。

于是

A \geq \frac{10}{r} + \frac{9 ( 1 + r )}{r ^{2}}

。代入

r = 0.05

：

\frac{10}{0.05} + \frac{9 \times 1.05}{0.0 5 ^{2}} = 200 + 3780 = 3980

。故

A

至少应为

3980

万元。

考点：幂级数及其收敛域、常数项级数的概念与性质

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