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2008 年考研数学（三）第 18 题

解答题 · 10 分

设

f (x)

是周期为

2

的连续函数.

（Ⅰ）证明对任意的实数

t

，有

\int_{t}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x

；

（Ⅱ）证明

G (x) = \int_{0}^{x} [2 f (t) - \int_{t}^{t + 2} f (s) d s] d t

是周期为

2

的周期函数.

提示 1

（Ⅰ）把

\int_{t}^{t + 2}

拆成

\int_{t}^{0} + \int_{0}^{2} + \int_{2}^{t + 2}

，对

\int_{2}^{t + 2}

换元

x - 2 = u

用周期性。

提示 2

（Ⅱ）先由(Ⅰ)看出内层积分

\int_{t}^{t + 2} f (s) d s

是常数，于是被积函数

h (t)

周期为

2

。

提示 3

证

G (x + 2) = G (x)

只需

\int_{x}^{x + 2} h (t) d t = \int_{0}^{2} h = 0

。

答案与详解

答案（Ⅰ）作换元 $x - 2 = u$ 并用周期性即得 $\int_{t}^{t + 2} f = \int_{0}^{2} f$ ；（Ⅱ）由(Ⅰ)知 $\int_{t}^{t + 2} f (s) d s = \int_{0}^{2} f (s) d s$ 为常数，被积函数 $2 f (t) - \int_{0}^{2} f (s) d s$ 以 $2$ 为周期，故 $G (x + 2) = G (x)$ 。（证明题）

思路（为什么这么做）

周期函数积分题 → 记住「

\int_{t}^{t + T} f = \int_{0}^{T} f

」这块砖；证明某积分函数有周期，就验

\int_{x}^{x + T} (被积) = 0

。坑：本题内层积分是常数（不含

t

），

\int_{0}^{2} h = 2 \int_{0}^{2} f - 2 \int_{0}^{2} f = 0

是关键。

解答

本题考查周期函数的定积分性质与变上限积分。 核心结论：周期函数在任一长为周期的区间上积分值相同。

（Ⅰ） 拆分

\int_{t}^{t + 2} f = \int_{t}^{0} f + \int_{0}^{2} f + \int_{2}^{t + 2} f

。对最后一段令

x - 2 = u

：

\int_{2}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{t} f (u + 2) d u = \int_{0}^{t} f (u) d u

（用

f

周期

2

）。于是

\int_{t}^{t + 2} f = \int_{t}^{0} f + \int_{0}^{2} f + \int_{0}^{t} f = \int_{0}^{2} f

。

（Ⅱ） 由(Ⅰ)，

\int_{t}^{t + 2} f (s) d s = \int_{0}^{2} f (s) d s

是与

t

无关的常数，记被积函数

h (t) = 2 f (t) - \int_{0}^{2} f (s) d s

，则

h (t)

以

2

为周期。

于是

G (x + 2) = \int_{0}^{x + 2} h (t) d t = \int_{0}^{x} h (t) d t + \int_{x}^{x + 2} h (t) d t

。由(Ⅰ)（对周期函数

h

）

\int_{x}^{x + 2} h (t) d t = \int_{0}^{2} h (t) d t = 2 \int_{0}^{2} f d t - 2 \int_{0}^{2} f (s) d s = 0

。故

G (x + 2) = \int_{0}^{x} h (t) d t = G (x)

，即

G

以

2

为周期。

考点：定积分的概念与性质、微积分基本定理与变限积分

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