2008 年考研数学（三） 第 17 题

二重积分被积含 $\max /\min$ 或分段 → 先用边界曲线（这里 $xy=1$）划分积分区域，再分块积分。坑：定 $D_1$ 时 $x$ 下限是 $1/2$（因 $y\le 2$ 要求 $1/x\le 2$）；$D_2$ 上常数积分等于其面积。

本题考查含 $\max$ 的分段函数二重积分。 先按 $xy$ 与 $1$ 的大小把 $D$ 拆开：曲线 $xy=1$ 把正方形分成两块。

令 $D_1=\left\{(x,y)|\frac{1}{2}\le x\le 2,\frac{1}{x}\le y\le 2\right\}$（此处 $xy\ge 1$），$D_2=D\setminus D_1$（此处 $xy<1$）。则 $${\iint }_D\max \{xy,1\}={\iint }_{D_1}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\iint }_{D_2}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

${\iint }_{D_1}xy={\int }_{1/2}^{2}x\mathrm{d}x{\int }_{1/x}^{2}y\mathrm{d}y={\int }_{1/2}^{2}x\cdot \frac{1}{2}\left(4-\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=\frac{15}{4}-\ln 2$。

${\iint }_{D_2}1=4-{\iint }_{D_1}1=4-{\int }_{1/2}^2\mathrm{d}x{\int }_{1/x}^2\mathrm{d}y=4-{\int }_{1/2}^2\left(2-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=1+2\ln 2$。

相加：${\iint }_D\max \{xy,1\}=\left(\frac{15}{4}-\ln 2\right)+\left(1+2\ln 2\right)=\frac{19}{4}+\ln 2$。