2008 年考研数学（三） 第 16 题

隐函数求 $\mathrm{d}z$ → 两边求微分一步到位；求二阶时先把 $u$ 尽量化简（本题 $u=\frac{2}{1+{\phi }^{\prime }}$）再求导。坑：${\phi }^{\prime }$ 是复合函数，${\partial }_x{\phi }^{\prime }={\phi }^{\prime \prime }(1+z_x)$，别漏内层 $1+z_x$。

本题考查隐函数求全微分与二阶偏导。 用「两边求微分」法最省事，$\phi$ 只写到 ${\phi }^{\prime },{\phi }^{\prime \prime }$。

（Ⅰ） 对 $x^2+y^2-z=\phi (x+y+z)$ 两边求微分：$2x\mathrm{d}x+2y\mathrm{d}y-\mathrm{d}z={\phi }^{\prime }(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y+\mathrm{d}z)$。整理 $(1+{\phi }^{\prime })\mathrm{d}z=(2x-{\phi }^{\prime })\mathrm{d}x+(2y-{\phi }^{\prime })\mathrm{d}y$，故 $$\mathrm{d}z=\frac{2x-{\phi }^{\prime }}{1+{\phi }^{\prime }}\mathrm{d}x+\frac{2y-{\phi }^{\prime }}{1+{\phi }^{\prime }}\mathrm{d}y.$$ 从而 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x-{\phi }^{\prime }}{1+{\phi }^{\prime }}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y-{\phi }^{\prime }}{1+{\phi }^{\prime }}$。

（Ⅱ） 先化简 $u$：$\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{(2x-{\phi }^{\prime })-(2y-{\phi }^{\prime })}{1+{\phi }^{\prime }}=\frac{2(x-y)}{1+{\phi }^{\prime }}$，故 $u=\frac{1}{x-y}\cdot \frac{2(x-y)}{1+{\phi }^{\prime }}=\frac{2}{1+{\phi }^{\prime }}$。

对 $x$ 求偏导（${\phi }^{\prime }={\phi }^{\prime }(x+y+z)$，其对 $x$ 的导数为 ${\phi }^{\prime \prime }\cdot (1+\frac{\partial z}{\partial x})$）：$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{2{\phi }^{\prime \prime }\left(1+\frac{\partial z}{\partial x}\right)}{(1+{\phi }^{\prime }{)}^2}.$$ 又 $1+\frac{\partial z}{\partial x}=1+\frac{2x-{\phi }^{\prime }}{1+{\phi }^{\prime }}=\frac{1+2x}{1+{\phi }^{\prime }}$，代入得 $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{2(1+2x){\phi }^{\prime \prime }}{(1+{\phi }^{\prime }{)}^3}$。