2008 年考研数学（三） 第 15 题

见 $\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}$ → 先 $\ln (1+\Delta )\sim \Delta$ 脱对数，再用 $\sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$。坑：等价无穷小只在乘除中替换；$\sin x\sim x$ 精度不够，必须展到 $x^3$ 项。

本题考查未定型极限（对数 + 等价无穷小 / 泰勒）。 出现 $\ln$ 时先用 $\ln (1+\Delta )\sim \Delta$ 把对数化掉。

当 $x\to 0$，$\frac{\sin x}{x}\to 1$，记 $\Delta =\frac{\sin x}{x}-1=\frac{\sin x-x}{x}\to 0$。则 $\ln \frac{\sin x}{x}=\ln (1+\Delta )\sim \Delta =\frac{\sin x-x}{x}$。

于是原式 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\sin x-x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$。由 $\sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$（泰勒），得极限 $=-\frac{1}{6}$。

（也可洛必达：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6}$。）