2007 年考研数学（三） 第 8 题

判两实对称矩阵「合同/相似」→ 相似看特征值是否全同，合同看正负惯性指数是否相同。坑：特征值不同必不相似，但只要正、负、零个数一致仍合同。

本题考查实对称矩阵的合同与相似判别。 相似要求特征值完全相同；实对称的合同只要求正、负、零特征值个数（惯性指数）分别相同。

由 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 1& 1\\ 1& \lambda -2& 1\\ 1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=\lambda (\lambda -3{)}^2$，得 $\mathbf{A}$ 的特征值 $0,3,3$；$\mathbf{B}$ 的特征值 $1,1,0$。

二者特征值不同 $\Rightarrow$ 不相似；但正、负、零个数都是 $2,0,1$，惯性相同 $\Rightarrow$ 合同。故「合同但不相似」，选 B。