2007 年考研数学（三） 第 7 题

判 $\mathbf{\alpha }$ 的线性组合新组是否相关 → 写系数矩阵 $C$，$\det C=0$ 即相关。速判：系数「首尾循环相减型」（${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1$）三者和为零，必相关。

本题考查向量组线性相关性的判定。 新组 $=$ 原组 $\times$ 系数矩阵 $C$；因 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 无关，新组相关 $\iff \det C=0$。

(A) 三向量之和 $({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3)+({\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1)=0$，存在非零组合为零，故线性相关。

用行列式核对：(A) $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)=0$；而 (B)(C)(D) 的系数行列式分别为 $2,-7,9$，均 $\ne 0$（无关）。故选 A。