2007 年考研数学（三） 第 6 题

求渐近线条数 → 铅直查无定义点极限、$x\to \pm \infty$ 分别查水平/斜。坑：$x\to +\infty$ 无水平却有斜渐近线 $y=x$，$x\to -\infty$ 才有水平 $y=0$，两侧要分开数。

本题考查曲线的水平、铅直、斜渐近线。 分别考察 $x\to 0$、$x\to -\infty$、$x\to +\infty$。

铅直：$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}+\ln (1+{\mathrm{e}}^x))=\infty$，得铅直渐近线 $x=0$。水平：$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0$（$\frac{1}{x}\to 0,\ln (1+{\mathrm{e}}^x)\to 0$），得水平渐近线 $y=0$（左侧）。

斜：$x\to +\infty$ 时 $\lim \frac{y}{x}=1$，$\lim (y-x)=\lim \ln \frac{1+{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}=0$，得斜渐近线 $y=x$（右侧）。共 $3$ 条，选 D。