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2007 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 4 分

设某商品的需求函数为

Q = 160 - 2 p

，其中

Q, p

分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于

1

，则商品的价格是（　　）

A $10$
B $20$
C $30$
D $40$

提示 1

弹性公式

E = \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p}

，代入

Q = 160 - 2 p

。

提示 2

化简

∣ E ∣ = \frac{p}{80 - p}

，令其

= 1

。

提示 3

分

= 1

与

= - 1

两种情形，取有解者。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

「需求弹性绝对值 = 定值」→ 直接用

E = \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p}

列方程解

p

。坑：弹性含负号，令

∣ E ∣ = 1

要分正、负两式，负式常无解。

解答

本题考查需求弹性（导数的经济意义）。 需求弹性

E = \frac{p}{Q} \cdot \frac{d Q}{d p}

，题设

∣ E ∣ = 1

。

\frac{d Q}{d p} = - 2

，故

∣ E ∣ = \frac{p}{160 - 2 p} \cdot (- 2) = \frac{p}{80 - p} = 1

。

解

\frac{p}{80 - p} = 1

得

p = 40

；

\frac{p}{80 - p} = - 1

无解。故

p = 40

，选 D。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、导数应用：最值、渐近线、作图

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