2007 年考研数学（三） 第 4 题

二次积分换序 → 先画区域，再按新外层变量定内层上下限。坑：在 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上反解 $\sin x=y$ 要取 $x=\pi -\arcsin y$（不是 $\arcsin y$）。

本题考查二重积分交换积分次序。 先画区域再换序：原式区域 $D=\{\frac{\pi }{2}\le x\le \pi ,\sin x\le y\le 1\}$。

在 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上 $y=\sin x$ 由 $1$ 单调降到 $0$，故 $0\le y\le 1$。对固定 $y$，由 $\sin x=y$ 且 $x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 解得 $x=\pi -\arcsin y$，右边界 $x=\pi$，即 $\pi -\arcsin y\le x\le \pi$。

于是原式 $={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\pi -\arcsin y}^{\pi }f(x,y)\mathrm{d}x$，选 B。