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2007 年考研数学（三）第 3 题

选择题 · 4 分

如图，连续函数

y = f (x)

在区间

[- 3, - 2], [2, 3]

上的图形分别是直径为

1

的上、下半圆周，在区间

[- 2, 0], [0, 2]

上的图形分别是直径为

2

的下、上半圆周。设

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则下列结论正确的是（　　）

（图形说明：

[- 3, - 2]

上半圆、

[- 2, 0]

下半圆、

[0, 2]

上半圆、

[2, 3]

下半圆；即

f

为奇函数。）

A $F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)$
B $F (3) = \frac{5}{4} F (2)$
C $F (- 3) = \frac{3}{4} F (2)$
D $F (- 3) = - \frac{5}{4} F (- 2)$

提示 1

半径

r

的半圆面积

\frac{1}{2} π r^{2}

；上半圆使积分为正、下半圆为负。

提示 2

分段算出

\int_{0}^{2}, \int_{2}^{3}, \int_{- 2}^{0}, \int_{- 3}^{- 2}

四块，注意

\int_{0}^{- a} = - \int_{- a}^{0}

。

提示 3

得

F (2) = F (- 2) = \frac{π}{2}

、

F (3) = F (- 3) = \frac{3 π}{8}

，逐一核对选项。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

「图形由半圆拼成 + 变上限积分

F = \int_{0}^{x} f

」→ 用几何意义把每段积分当半圆面积（上正下负）算，再比选项。坑：

F (- 3) = \int_{0}^{- 3} = - \int_{- 3}^{0}

的方向号；

f

奇则

F

偶可快速验证。

解答

本题考查变上限积分 $F (x) = \int_{0}^{x} f$ 的求值，用定积分的几何意义（半圆面积）逐段计算。 上半圆积分取正、下半圆取负；半径

r

的半圆面积

= \frac{1}{2} π r^{2}

。

各段积分：

[0, 2]

上半圆

r = 1

，

\int_{0}^{2} f = \frac{π}{2}

；

[2, 3]

下半圆

r = \frac{1}{2}

，

\int_{2}^{3} f = - \frac{π}{8}

；

[- 2, 0]

下半圆

r = 1

，

\int_{- 2}^{0} f = - \frac{π}{2}

；

[- 3, - 2]

上半圆

r = \frac{1}{2}

，

\int_{- 3}^{- 2} f = \frac{π}{8}

。

于是

F (2) = \frac{π}{2}

，

F (3) = \frac{π}{2} - \frac{π}{8} = \frac{3 π}{8}

，

F (- 2) = - \int_{- 2}^{0} f = \frac{π}{2}

，

F (- 3) = - \int_{- 3}^{0} f = - (\frac{π}{8} - \frac{π}{2}) = \frac{3 π}{8}

。比较得

F (- 3) = \frac{3 π}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3}{4} F (2)

，选 C。（注：

f

为奇函数，故

F

为偶函数，

F (3) = F (- 3), F (2) = F (- 2)

。）

考点：微积分基本定理与变限积分、定积分的概念与性质

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