2007 年考研数学（三） 第 2 题

判「哪条错」的连续/可导命题 → 用「分母→0 且商极限存在 ⇒ 分子→0」逐条验证；可导命题当心「对称差商 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在」推不出 $f^{\prime }(0)$ 存在（反例 $|x|$）。

本题考查连续与可导的定义辨析。 关键：$f$ 在 $0$ 连续 $\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$；又「分母 $\to 0$ 且商的极限存在 $\Rightarrow$ 分子 $\to 0$」。

(A) 由商极限存在得 $f(x)\to 0$，故 $f(0)=0$，正确；(B) 得 $\lim [f(x)+f(-x)]=2f(0)=0$，故 $f(0)=0$，正确；(C) 由 (A) 有 $f(0)=0$，则 $\lim \frac{f(x)}{x}=\lim \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)$ 存在，正确。

(D) 错误。取 $f(x)=|x|$（在 $0$ 连续），则 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}=\frac{|x|-|x|}{x}=0\to 0$ 极限存在，但 $f^{\prime }(0)$ 不存在。本质上 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 只含 $f$ 的奇部信息，控制不了可导性。故选 D。