2007 年考研数学（三） 第 1 题

求「与某无穷小等价」→ 代换 $t=\sqrt{x}$ 后取麦克劳林一阶主部，系数为 $1$ 且同号者才等价。坑：$1-{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}\sim -\sqrt{x}$ 差个负号不算等价，$1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{1}{2}x$ 阶更高。

本题考查等价无穷小的判定（$x\to 0^{+}$）。 逐一比较各选项与 $\sqrt{x}$ 的比值极限，等价即比值极限为 $1$。

令 $t=\sqrt{x}\to 0^{+}$。(A) $1-{\mathrm{e}}^t\sim -t$（与 $\sqrt{x}$ 反号，非等价）；(C) $\sqrt{1+t}-1\sim \frac{1}{2}t$（系数 $\frac{1}{2}$，非等价）；(D) $1-\cos t\sim \frac{1}{2}{t}^2=\frac{1}{2}x$（是 $x$ 的同阶，比 $\sqrt{x}$ 高阶）。

只有 (B) $\ln (1+t)\sim t=\sqrt{x}$，比值极限为 $1$，故与 $\sqrt{x}$ 等价，选 B。